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Diskrete Mathematik

Modulbezeichnung:
Bezeichnung des Moduls innerhalb des Studiengangs. Sie soll eine präzise und verständliche Überschrift des Modulinhalts darstellen.
Diskrete Mathematik
Modulbezeichnung (engl.): Discrete Mathematics
Studiengang:
Studiengang mit Beginn der Gültigkeit der betreffenden ASPO-Anlage/Studienordnung des Studiengangs, in dem dieses Modul zum Studienprogramm gehört (=Start der ersten Erstsemester-Kohorte, die nach dieser Ordnung studiert).
Praktische Informatik, Master, ASPO 01.10.2011
Code: PIM-DM
SAP-Submodul-Nr.:
Die Prüfungsverwaltung mittels SAP-SLCM vergibt für jede Prüfungsart in einem Modul eine SAP-Submodul-Nr (= P-Nummer). Gleiche Module in unterschiedlichen Studiengängen haben bei gleicher Prüfungsart die gleiche SAP-Submodul-Nr..
P222-0051
SWS/Lehrform:
Die Anzahl der Semesterwochenstunden (SWS) wird als Zusammensetzung von Vorlesungsstunden (V), Übungsstunden (U), Praktikumsstunden (P) oder Projektarbeitsstunden (PA) angegeben. Beispielsweise besteht eine Veranstaltung der Form 2V+2U aus 2 Vorlesungsstunden und 2 Übungsstunden pro Woche.
3V+1U (4 Semesterwochenstunden)
ECTS-Punkte:
Die Anzahl der Punkte nach ECTS (Leistungspunkte, Kreditpunkte), die dem Studierenden bei erfolgreicher Ableistung des Moduls gutgeschrieben werden. Die ECTS-Punkte entscheiden über die Gewichtung des Fachs bei der Berechnung der Durchschnittsnote im Abschlusszeugnis. Jedem ECTS-Punkt entsprechen 30 studentische Arbeitsstunden (Anwesenheit, Vor- und Nachbereitung, Prüfungsvorbereitung, ggfs. Zeit zur Bearbeitung eines Projekts), verteilt über die gesamte Zeit des Semesters (26 Wochen).
6
Studiensemester: 2
Pflichtfach: ja
Arbeitssprache:
Deutsch
Prüfungsart:
Klausur

[letzte Änderung 20.09.2010]
Verwendbarkeit / Zuordnung zum Curriculum:
Alle Studienprogramme, die das Modul enthalten mit Jahresangabe der entsprechenden Studienordnung / ASPO-Anlage.

DFI-DM (P610-0269) Informatik, Master, ASPO 01.10.2018 , 1. Semester, Wahlpflichtfach
KI873 Kommunikationsinformatik, Master, ASPO 01.04.2016 , 2. Semester, Wahlpflichtfach, informatikspezifisch
KIM-DM (P222-0051) Kommunikationsinformatik, Master, ASPO 01.10.2017 , 1. Semester, Pflichtfach
PIM-DM (P222-0051) Praktische Informatik, Master, ASPO 01.10.2011 , 2. Semester, Pflichtfach
PIM-DM (P222-0051) Praktische Informatik, Master, ASPO 01.10.2017 , 1. Semester, Pflichtfach
Arbeitsaufwand:
Der Arbeitsaufwand des Studierenden, der für das erfolgreiche Absolvieren eines Moduls notwendig ist, ergibt sich aus den ECTS-Punkten. Jeder ECTS-Punkt steht in der Regel für 30 Arbeitsstunden. Die Arbeitsstunden umfassen Präsenzzeit (in den Vorlesungswochen), Vor- und Nachbereitung der Vorlesung, ggfs. Abfassung einer Projektarbeit und die Vorbereitung auf die Prüfung.

Die ECTS beziehen sich auf die gesamte formale Semesterdauer (01.04.-30.09. im Sommersemester, 01.10.-31.03. im Wintersemester).
Die Präsenzzeit dieses Moduls umfasst bei 15 Semesterwochen 60 Veranstaltungsstunden (= 45 Zeitstunden). Der Gesamtumfang des Moduls beträgt bei 6 Creditpoints 180 Stunden (30 Std/ECTS). Daher stehen für die Vor- und Nachbereitung der Veranstaltung zusammen mit der Prüfungsvorbereitung 135 Stunden zur Verfügung.
Empfohlene Voraussetzungen (Module):
Keine.
Als Vorkenntnis empfohlen für Module:
Modulverantwortung:
Prof. Dr. Peter Birkner
Dozent/innen:
Prof. Dr. Rainer Lenz


[letzte Änderung 20.09.2010]
Lernziele:
 
Die Studierenden wiederholen das Konzept der Teilbarkeit im Bereich der ganzen Zahlen. Sie können Teilbarkeitsbeziehungen erkennen und anwenden. Gemeinsam mit dem Dozenten leiten die Studierenden aus der Teilbarkeit die Kongruenzrelation ab. Sie kennen den Begriff der Restklasse und können deren Inverse berechnen. Sie erkennen die Struktur von Restklassengruppen können deren Eigenschaften untersuchen.
 
Die Studierenden kennen den Chinesischen Restsatz. Die leiten aus dem Beweis für 2 Gleichungen den allgemeinen Beweis ab. Sie können den Chinesischen Restsatz in konkreten Aufgaben anwenden und damit praktische Probleme lösen.
 
Die Studierenden wissen, was Primzahlen sind. Sie können die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Schranke abschätzen. Sie können mit einem Primzahltest überprüfen, ob eine natürliche Zahl prim ist oder nicht. Sie können Pseudoprimzahlen erkennen und wissen, was dies für den Primzahltest bedeutet.
 
Die Studierenden wiederholen die Grundlagen der Gruppentheorie. Sie lernen verschiedene Eigenschaften und Strukturen kennen, wie z.B. Ordnung, (zyklische) Untergruppe, Erzeuger usw. Sie erkennen diese Strukturen und können Sie in verschiedenen Kontexten anwenden.
 
Die Studierenden erkennen das Problem des Diskreten Logarithmus. Sie können es mit dem Baby-Step-Giant-Step-Algorithmus selbstständig lösen und als Anwendung das Diffie-Hellman-Protokoll durchführen.
 
Die Studierenden wissen, was eine Elliptische Kurve ist und wie Punkte auf einer solchen addiert werden können. Sie erkennen die Gruppenstruktur in der Menge der Punkte und können sowohl die Gruppentheorie als auch das Diffie-Hellman-Protokoll auf Elliptische Kurven anwenden.


[letzte Änderung 23.04.2024]
Inhalt:
 
1. Modulare Arithmetik
Teilbarkeit, Kongruenzen, effizientes Potenzieren modulo p, Teilbarkeitsregeln, Restklassen, Inverse Restklassen, Restklassengruppen, Euler´sche Phi-Funktion und deren Berechnung
 
2. Der Chinesische Restsatz (CRT)
CRT für 2 Gleichungen, CRT allgemein, Beispiele und Anwendungen
 
3. Primzahlen
Primzahlen, Fundamentalsatz der Algebra, es gibt unendlich viele Primzahlen, Primzahlsatz, Kleiner Satz von Fermat, Fermat-Primzahltest, Pseudoprimzahlen
 
4. Gruppentheorie
Gruppenaxiome, Untergruppe, Exponentiation in Gruppen, zyklische Gruppen, Ordnung von Elementen und Gruppen, Homomorphismen, Kern und Bild
 
5. Der Diskrete Logarithmus (DL)
Der DL, Square-and-Multiply-Verfahren, Shanks´ Baby-Step-Giant-Step-Algorithmus, Das Diffie-Hellman-Protokoll
 
6. Körpertheorie
Endliche Körper, Charakteristik
 
7. Elliptische Kurven (EC)
EC, Punkte auf der EC, Weierstraß-Gleichung, Gruppengesetz, graphische Addition, Diskriminante, Punktzahl einer EC über F_p, Das Hasse-Weil-Intervall


[letzte Änderung 16.04.2024]
Literatur:
 
- Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie (Beispiele, Geschichte, Algorithmen) Springer, 2015
 
- Washington: Elliptic Curves (Number Theory and Cryptography), Chapman& Hall, 2008
 
- Iwanowski, Lang: Diskrete Mathematik mit Grundlagen (Lehrbuch für Studierende von MINT-Fächern), Springer, 2014


[letzte Änderung 16.04.2024]
Modul angeboten in Semester:
WS 2018/19, WS 2017/18, SS 2017, SS 2016, SS 2015, ... 
[Wed Apr 24 17:29:37 CEST 2024, CKEY=pdm, BKEY=pim, CID=PIM-DM, LANGUAGE=de, DATE=24.04.2024]